KME/D - Cvičení 12
Volné kmitání soustav s jedním stupněm volnosti
Příklad 5: Těžní klec
Těžní klec o hmotnosti $m_2$ se pohybuje konstantní rychlostí $v_0$. Určete maximální sílu v ocelovém laně o hmotnosti $m_1$ a tuhosti $k_1$, jež vznikne při náhlém zastavení horního konce lana v bodě $A$. Vyšetřete pohyb těžní klece za předpokladu poměrného útlumu $D=0,2$. V jakém poměru se zmenší amplituda výchylky po dvou kmitech?
Dáno: $\;m_1 = 1,2 \cdot 10^4 \, \mathrm{kg}$, $\;m_2 = 2 \cdot 10^4 \, \mathrm{kg}$, $\;v_0 = 1 \, \mathrm{m/s}$, $\;k_1 = 1,5 \cdot 10^5 \, \mathrm{N\cdot m^{-1}}$, $\;D = 0,2$
Z předchozího již víme, že hmotnost pružného členu lze při sestavení vlastní pohybové rovnice ekvivalentně zohlednit tak, že k hmotnosti těžní klece přičteme třetinu hmotnosti lana, tedy
\[m_c = m_2 + \frac{m_1}{3}.\]Zavedeme-li souřadnici $x(t)$ jako výchylku těžní klece od statické rovnovážné polohy (SRP), lze pohyb těžní klece popsat jako podélné kmitání soustavy s jedním stupněm volnosti, které je dáno homogenní lineární obyčejnou diferenciální rovnicí 2. řádu ve tvaru
\[m_c\, \ddot{x} + b_c\, \dot{x} + k_c\, x = 0,\]kde $m_c$ označuje ekvivalentní hmotnost soustavy, $b_c$ je koeficient tlumení a $k_c$ je tuhost soustavy. Dále zavádíme vlastní frekvenci (netlumené) soustavy $\Omega$ tak, že platí
\[\frac{k_c}{m_c} = \Omega^2, \quad \frac{b_c}{m_c} = 2 D \Omega.\]V našem konkrétním případě je tuhost soustavy dána tuhostí pružného lana, tedy $k_c = k_1$. Po dosazení těchto výrazů do výše uvedené rovnice získáme následující počáteční úlohu pro výchylku těžní klece
\[\left\{ \begin{aligned} \ddot{x} + 2 D \Omega \dot{x} + \Omega^2 x &= 0, \\ x(0) &= 0, \\ \dot{x}(0) &= v_0. \end{aligned} \right.\]Pro nalezení obecného řešení sestavíme charakteristickou rovnici
\[\lambda^2 + 2 D \Omega \lambda + \Omega^2 = 0,\]jejíž kořeny jsou
\[\lambda_{1,2} = -D\Omega \pm \Omega \sqrt{1 - D^2} \, \mathrm{i}.\]Zde zavedeme vlastní frekvenci tlumené soustavy $\Omega_D$ vztahem
\[\Omega_D = \Omega \sqrt{1 - D^2}.\]Protože pro zadaný poměrný útlum platí $D < 1$, mají kořeny charakteristické rovnice nenulovou jak reálnou, tak imaginární část a obecné řešení lze zapsat ve tvaru harmonických kmitů s exponenciálním útlumem
\[x(t) = \mathrm{e}^{-D\Omega t} \bigl( A \cos (\Omega_D t) + B \sin (\Omega_D t) \bigr).\]Konstanty $A$ a $B$ určíme z počátečních podmínek. Derivací výrazu $x(t)$ získáváme
\[\dot{x}(t) = \mathrm{e}^{-D\Omega t} \Bigl( -D\Omega \bigl( A \cos(\Omega_D t) + B \sin(\Omega_D t) \bigr) + \Omega_D \bigl( -A \sin(\Omega_D t) + B \cos(\Omega_D t) \bigr) \Bigr).\]Z počáteční výchylky $x(0) = 0$ plyne $A = 0$. Dosazením do počáteční podmínky pro rychlost $\dot{x}(0) = v_0$ pak dostáváme $B = v_0 / \Omega_D$. Tím jsme získali explicitní vyjádření výchylky těžní klece ve tvaru
\[x(t) = \frac{ v_0 }{ \Omega_D } \mathrm{e}^{-D\Omega t} \sin (\Omega_D t),\]a odpovídající rychlosti
\[\dot{x}(t) = \frac{ v_0 }{ \Omega_D } \mathrm{e}^{-D\Omega t} \bigl( -D\Omega \sin (\Omega_D t) + \Omega_D \cos (\Omega_D t) \bigr).\]
Maximální síla v ocelovém laně nastane v bodě $A$, kde je lano zatíženo tíhovou silou klece, tíhovou silou celého lana a silou v pružném laně vyvolanou jeho maximálním prodloužením, tj.
\[F_{\mathrm{max}} = \left( m_1 + m_2 \right) g + k_1 x_{\mathrm{max}}.\]Tato síla nastává v okamžiku, kdy je výchylka těžní klece maximální, a tedy její rychlost je nulová, tj. $\dot{x}(t) = 0$. Z výše uvedeného výrazu pro rychlost těžní klece proto získáme podmínku pro čas $t_\mathrm{max}$, v němž je maximální síly v laně dosaženo. Protože konstanta i exponenciální člen jsou pro $\forall t \geq 0$ nenulové, musí být splněna rovnost
\[-D\Omega \sin (\Omega_D t) + \Omega_D \cos (\Omega_D t) = 0,\]a tedy
\[\mathrm{tg} (\Omega_D t) = \frac{\Omega_D}{D\Omega}.\]Tato rovnost je splněna pro časy
\[t_j = \frac{1}{\Omega_D} \arctan \left( \frac{\Omega_D}{D\Omega} \right) + j \frac{\pi}{\Omega_D}, \quad j = 0, 1, 2, \ldots\]Maximální výchylce těžní klece zřejmě odpovídá první z těchto hodnot, tj. $j=0$, tedy čas
\[t_\mathrm{max} = \frac{1}{\Omega_D} \arctan \left( \frac{\Omega_D}{D\Omega} \right),\]a proto je dána vztahem
\[x(t_\mathrm{max}) \equiv x_\mathrm{max} = \frac{ v_0 }{ \Omega_D } \mathrm{e}^{-D\Omega t_\mathrm{max}} \sin (\Omega_D t_\mathrm{max}).\]Pro nalezení poměru amplitud po dvou kmitech vyjdeme z výrazu pro výchylku těžní klece. Označíme-li periodu tlumeného kmitání symbolem $T_D = 2\pi / \Omega_D$, platí
\[\begin{aligned} \frac{x(t)}{x(t + 2T_D)} &= \frac{ \frac{ v_0 }{ \Omega_D } \mathrm{e}^{-D\Omega t} \sin (\Omega_D t) } { \frac{ v_0 }{ \Omega_D } \mathrm{e}^{-D\Omega (t + 2T_D)} \sin (\Omega_D (t + 2T_D)) } \\ &= \frac{ \mathrm{e}^{-D\Omega t} } { \mathrm{e}^{-D\Omega (t + 2T_D)} } \\ &= \frac{ \mathrm{e}^{-D\Omega t} } { \mathrm{e}^{-D\Omega t } \mathrm{e}^{-D\Omega 2T_D}} \\ &= \mathrm{e}^{2D\Omega T_D} \\ &= \mathrm{e}^{\frac{4 \pi D}{\sqrt{1 - D^2}}} \approx 13. \end{aligned}\]Amplituda výchylky se tedy po dvou kmitech zmenší přibližně třináctkrát.
Last update: 2026-07-22 12:55:28 +0000